Kajian Limit Ganda untuk Fungsi Multivariabel

Pendahuluan
Dalam artikel ini penulis akan mengulas bagaimana sebuah limit fungsi yang dibatasi oleh dua buah titik yakni titik yang dibatasi oleh sumbu x sekaligus dibatasi oleh sumbu y atau sebaliknya, dengan kata lain terdapat dua limit fungsi yang berlainan. Yang pertama adalah fungsi yang sebenarnya yakni fungsi yang benar-benar ditanyakan dan yang selanjutnya adalah limit fungsi dari hasil penyelesaian limit fungsi yang didahului untuk lebih jelas lihat iliustrasi

Disini penulis tidak menyatukan x dan y dalam satu limit seperti

Karena grafiknya akan sedikit berbeda.
Limit ganda memang cukup sulit dikerjakan dan dibutuhkan sedikit ketelitian dan disini penulus akan membuktikan satu persatu bentuk limitnya.
“diberikan sebuah fungsi ganda atau multivariabel, maka limit yang membatasi fungsi tersebut adalah

Asalkan banyaknya limit sama dengan banyaknya variabel pada fungsi yang diberikan”
Bukti:

dari pembuktian diatas, penulis harap pembaca bisa yakin akan teorema tersebut.
Sebagai suatu contoh
Tentukan limit dari

Andaikan contoh di atas dibalik maksudnya limit pada sumbu x didahulukan terlebih dahuli sebagai titik atau nilai pembatas dan limit pada sumbu y dibelakangkan, mungkin akan didapatkan hasil yang sama, kita buktikan

Dari contoh di atas dapat di beri kesimpulan bahwa limit ganda yang di balik akan menghasilkan hasil yang sama dan oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa
dengan syarat posisi variabel x juga harus dipindah ke tempat variabel y dan begitu juga variabel y ke tempat yang ditinggalkan variabel x.